在交通事故后，雙方可以協商解決相關費用問題。一般來說，有三種協商方式：肇事者墊付相關費用、自行支付并由肇事者賠償、車輛修理到肇事方保險公司指定修理廠維修并由保險公司直接與修理廠結算。

然而，全責方是否有墊付義務呢？根據新保險法規定，若經過交警初步認定或已做出認定后，全責方是有義務為對方墊付部分相關費用的。

若對方全責且拒絕賠償，我們應保持冷靜并采取以下措施。首先，記住對方的車牌號碼，并迅速撥打交警電話尋求幫助。同時，保留現場證據，不要隨意移動車輛，以免影響后續的定損和賠償程序。

一種應對方式是選擇自行墊付維修費用，然后向對方索要賠償。另一種方式是讓自己的保險公司先墊付維修費用，然后由保險公司追償對方。此時，《交通事故責任認定書》將成為索賠的依據。

若對方仍然不愿意賠償，我們可以考慮訴諸法律。根據交通事故責任認定書，我們可以向相關法院提起訴訟請求賠償。

在遭遇肇事車輛全責不愿賠償的情況下，通過法律手段維護自身權益是我們應有的權利。同時，需要明確處理方式，并根據實際情況選擇適當的方法，以爭取早日獲得應有的賠償。